fˆ = Klasszikus mechanika Kvantummechanika Fizikai modell r: koordináta p: lendület Állapot ), komplex függvény Ψ(r 1 Fizikai mennyiség Mérés
|
|
- Katalin Fábiánné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Klasszikus mechanika r: koordináta p: lendület f(r,p) <f>=f(r,p) Fizikai modell Állapot Fizikai mennyiség Mérés fˆ = rˆ r Kvantummechanika Ψ(r 1, r N ), komplex függvény f (rˆ, pˆ ) fˆ Ψ * 1 Ψdr,..., r pˆ ih = ih = Ψ * f (rˆ,pˆ) Ψdr 3 α= 1 e N α < r α Newton egyenlet: d m dt 2 F = 2 r Időfejlődés Schrödinger egyenlet: ih t Ψ= HΨ
2 A SZORZATOPERÁTOR-ELMÉLET GYAKORLATI ASPEKTUSA, AVAGY AZ NMR KVINTESZENCIÁJA Alapfogalmak: magspin-operátor vagy impulzusnyomaték-operátor: I { I = Ix, Iy, Iz)} az időtől függő spinsűrűség-operátor az időtől függő Hamilton-operátor az időtől függő, normalizált állapotfüggvény σ(t) H(t) ψ(t) Az alapegyenlet: dσ(t)/dt = ih 1 [H(t),σ(t)] Liouville- von Neumann-egyenlet az időtől függő Schrödinger-egyenletből vezethető le és a sűrűség-operátor időbeli megváltozását (evolúcióját) adja meg a meg, az időtől függő Hamilton-operátor és az időtől függő állapotfüggvény(ek) fényében. memo: a mozgásegyenlet a H illetve a σ operátorok kommutátorának ([H, σ], lásd később) a függvénye memo: tartalmi hasonlóság a Bloch-egyenlettel; dm/dt = γ[m B] Stratégia: Először beszéljük meg az időtől függő spinsűrűség-operátor, σ(t), és az időtől függő, normalizált állapotfüggvény, ψ(t), majd az időtől függő Hamilton-operátor, H(t), jellemzőit.
3 I ) Vázoljuk fel a σ(t)-t (a projekciós operátort): 1) Ha a vizsgált rendszernek csupán egyetlen spinállapota van (azaz B=[0,0,0] ), akkor és ezért σ(t) = ψ(t) ψ(t) d ψ(t) /dt = ih 1 H(t) ψ(t). A Liouville-von Neumann egyenletnek ez az alakja csak akkor igaz, ha minden spin ugyanazzal a normalizált ψ(t) állapotfüggvénnyel jellemezhető. Ekkor σ(t)-t, az alábbi ket-bra szorzattal definiáljuk, amely egy projekciós operátort, a spinsűrűség operátort eredményezi valóban: σ(t) = ψ(t) ψ(t) 2) Ha a vizsgált rendszernek mindösszesen két spinállapota van (és B=[0,0,B 0 ] ), akkor σ(t) = Σp k ψ k (t) ψ k (t) (k=2) a két spin-állapotot (α-t és β-t) leíró két állapotfüggvény a ψ α (t) és a ψ β (t), p k az állapotok valószínűségét megadó tényező. memo: ezek nem a α és β ortogonális bázisok
4 Ha a vizsgált rendszernek mindösszesen K darab állapotfüggvény együttese szükséges, ami egy kevert állapot (mixed state), akkor ( ψ k (t), ahol 1 k K) σ(t) = Σp k ψ(t) ψ(t) Ekkor σ(t) a különböző állapotokon értelmezett átlag sűrűség-operátor, továbbá Σp k =1. Emlékeztető: Hullámfüggvény a Hilbert-térben (n-dimenziós vektortérben): feladat: az időtől függő hullámfüggvény, ψ(t), leírása ehhez kell: 1) egy n-darabból felépülő teljes ortonormált báziskészlet i ahol i=1,2,...n memo: normáltság i*idν =1 avagy i i =1 ortogonalitás i*jdν =0 avagy i j = 0 memo: A Dirac-féle jelölésmód szerint ket formalizmus, {. } rövidíti a bázist és az állapotfüggvényt, míg a bra {. } a bázis és az állapotfüggvény komplex konjugáltja.) 2) - n darab időfüggő lineárkombinációs koefficiens c i (t)= c 1 (t,), c 2 (t) c 3 (t),, c n (t) Ekkor a hullámfüggvény, az időtől függő, normalizált állapotfüggvény felírható: n ψ(t) = Σ c i (t) i i=1
5 ( ) i n i i n n g f g g g g f f f f = = ,...,,, Írjuk fel az A operátor adott bázison vett mátrixelemeinek {A ij } reprezentációját: A ij = i*ajdν; ugyanez a Dirac-féle jelölésmód szerint A ij = i A j, ami egy skalár mennyiség. - a bra-ket szorzás ψ(t) ψ(t) egy skalár: ( ) = n n n n n n n f g f g f g f g f g f g f f f f g g g g ,...,...,...,,...,,,. a ket-bra szorzás { ψ(t) ψ(t) } egy mátrix: A ψ ψ ψ ψ(t) ψ(t) a mátrix a projekciós operátor mátrixreprezentációja.
6 II) Vázoljuk fel a H(t)-t (a Hamilton-operátort): Az oldatfázisú bionmr szempontjábol érdekes komponensek: 1) az állandó mágneses tér (B 0 ) és a spin (I), 2) a gerjesztő mágneses tér (B 1 ) és a spin (I), 3a) az egyik (I) és a másik (S) spin skaláris, 3b) I és S spinek dipoláris, 4) a spin (pl. I) és a saját elektromos kvadrupolmomentuma kölcsönhatásából származó tagok.
7 1. A Zeeman-kölcsönhatás: A spin mágneses momentuma (µ) és a külső statikus mágneses tér (B 0 ) között létrejövő kölcsönhatást leíró tag. (A Zeeman-kölcsönhatásnak hívott jelenség indukálja a spinállapotok degeneráltságának megszűnését.) Mivel µ = γi, azaz a spinek mágneses momentuma (µ) arányos azok impulzusnyomatékával (I), ezért a Hamilton-operátor Zeeman-kölcsönhatást leíró tagja a következő alakú: H Zeeman = γ Î (1 σ) B 0. Î := magspin operátor γ := giromágneses állandó H Zeeman = γ ( Î Î Î ) x, y, z σ σ σ σ σ σ σ σ σ xx xy xz yx yy yz zx zy zz B B B x y z σ := korrekciós (árnyékolási) tenzor (amely tenzor mindig diagonalizálható) Oldatban a molekula kellően gyorsan forog, ekkor az árnyékolási tényező egyetlen számmá zsugorodik, σ iso ; a már diagonalizált árnyékolási tenzor: σ iso = (Tr σ)/3= (σ xx +σ yy +σ zz )/3 amely számot kémiai eltolódásértéknek hívunk. Polár-koordinátarendszerben felírva a Zeeman-operátort: H Zeeman = γ Î z (1 σ polar ) B 0 Egy spin Larmor-precessziójának szögsebességét az (1 σ polar )B 0 mennyiség határozza meg, ezt effektív mágneses térnek hívjuk: B eff. Mivel γb eff = ω eff, ezért: H Zeeman = ω 0 Î z
8 2. A gerjesztő mágneses tér (B 1 ) és a spin (I) kölcsönhatása: A rádiófrekvenciás gerjesztőtér (B 1 ) és a spin kölcsönhatását leíró tag hasonlít a most bevezetett Zeeman-taghoz. Mivel a gerjesztő tér az [x,y] síkba orientált, ezért itt az Î operátornak csak az x,y komponensét tekintjük. H RF külső laboratóriumi koordinátarendszerben felírva: H RF = ω 1 [Î x cos(ωt) Î y sin(ωt)] ω 1 = a rádiófrekvenciás tér szögsebessége, ω = a B 0 térhez rendelhető precessziós szögsebesség. memo: Bolch egyenletben a B1 segédtér: B 1x = B 1 cos (ωt) and B 1y = -B 1 sin (ωt) Az egyenlet az ω szögsebességgel forgó koordinátarendszerben felírva: H RF = ω 1 Î x mivel cos[(ω ω)t]=1 és sin[(ω ω)t]=0
9 3a. Az I és S spinek indirekt kölcsönhatása: H J Hamilton-operátorazon tagja amely a spinek közötti kölcsönhatást rögzíti. Ezt a kcs.-t a spinek között lokalizálható elektronok közvetítik, amely függ még a csatolási ( J-tenzor) tényleges alakjától is. A laboratóriumi koordinátarendszerben felírva a Hamilton-operátornak ezt a tagját: H J = Î J Š azaz ( Î Î Î ) H J = x, y, z J J J J J J J J J xx xy xz yx yy yz zx zy zz S S S x y z Oldatban szabadon mozgó I és S spin esetében a J tenzor egyetlen konstanssá zsugorodik. Így az Î és Š vektorok skaláris szorzatával ( sor-oszlop ) kell számolnunk, amely nem más mint: H J = J (Î x Š x + Î y Š y + Î z Š z )
10 3b. Az I és S spinek direkt kölcsönhatása: H D Két spin között (pl. I és S) a dipoláris kölcsönhatást leíró operátor, H D, amely az alábbi alakban adható meg: HD = Î D Š Oldatfázisú, azaz izotróp esetben D tenzor spurja zéró (Tr D = 0), ezért a kölcsönhatástól eltekinthetünk. 4. Az I spin és a saját elektromos kvadrupolmomentumának kölcsönhatása: H Q HQ = Î Q Î csak a felesnél nagyobb spinkvantumszámú magok esetén jelentős
11 Összefoglalva tehát Az I és S spinek (AX spinrendszer) esetén oldatfázisban a teljes Hamilton-operátor tartalmazza a : Zeeman-effektust + a skaláris csatolást + a rádiófrekvenciás gerjesztést leíró három tag. Azaz H = ω I Î z ω S Š z + J(Î x Š x + Î y Š y + Î z Š z ) ω 1 [Î x cos(ω a t) Î y sin(ω a t)] ω 2 [Š x cos(ω b t) Š y sin(ω b t)] az I spin besugárzásához használt térerő nagysága B 1 (frekvenciája ω 1 ), szögsebessége ω a. az S spin besugárzásához használt térerő nagysága B 2 (frekvenciája ω 2 ), szögsebessége ω b. mivel Ω I = ω I ω a és az Ω S = ω 2 ω b Itt nem részletezett összevonások után belátható, hogy: H = ω 1 Î x ω 2 Š x + JÎ z Š z Ω I Î z Ω S Š z Az első két tag a spinek gerjesztése során jut szerephez, addig a három utolsó tag a spinek precessziója során fellépő kölcsönhatásokat írja le: r.f. pulzus szabad precesszió Ham ω 1 Î x ω 2 Š x Ham Ω I Î z Ω S Š z + JÎ z Š z
12 az időtől III) Az alapegyenletben dσ(t)/dt = ih 1[H(t),σ(t)] H(t) függ Bontsunk fel egy pulzusszekvenciát olyan lépésekre (olyan elemi időintervallumok összegére), melyekben az operátorok időtől függetlenek: σ(t+ ) = exp( ih k ) σ(t) exp(+ih k ) memo: a elemi időintervallumban H k operátor az időtől független átlag-operátor, az exp( ih k ) tényező a propagátor A tömörített írásmód: σ(t) (H k ) > σ(t+ ) ahol a spinsűrűségoperátor megváltozásáért elemi lépésben H k felelős.
13 1) Például ha az említett időintervallumban kizárólag az I spin precessziója történik, akkor a megfelelő Hamilton-operátor tényleges alakja a H Ω I Î z. Ezt az alábbi formalizmus foglalja össze: σ(t) ( Ω I Î z ) > σ(t+ ) Tfh t=0 pillanatban σ(0) = Î x. Kérdés hogy mi történik a precesszió alatt, ha σ(τ) = exp( ihτ) σ(0) exp(+ihτ) és H= ΩÎ z σ(τ) = exp( iωî z τ) Î x exp(+i ΩÎ z τ) Belátható (Keeler 145o) σ(τ) = cos(ωτ) valamint σ(0) = Î x Î x + sin(ωτ) Î y 2) Pl.: a alatt az I és S egymással csatolt spinek precesszálnak: σ(t) ( Ω I Î z ) > ( Ω s Š z ) > ( JÎ z Š z ) > σ(t+ )
14 IV) Az A megfigyelési operátor: cél: hogy meghatározzuk a mérhető makroszkopikus mágnesezettség-vektor (M) nagyságát és annak moduláltságát. helyzet: Ehhez kvantummechanikai alapon kell kiszámítanunk az M-t, ill. út: A mikrovilág megfigyelhetőségének nem-klasszikus jellegéhez igazodva ezt a célt általában a megfelelő operátor lehetséges sajátértékeinek meghatározásán keresztül érjük el. Ha egy tetszésszerinti A operátor (a megfigyelés-operátor) sajátértékeit keressük, akkor a megoldást az; A = ψ(t)*a ψ(t) dν, vagy az A = ψ(t) A ψ(t) adja. ahol A az A operátor várhatóértéke, ψ(t) ortonormált hullámfüggvény, memo: most ψ(t) helyette a sűrűségoperátort {σ(t)} használjuk. Az NMRszámítások során nem a hullámfüggvényt {ψ(t)}, hanem a sűrűségoperátort {σ(t)} használjuk, mivel nem az elemi spinállapotokra, hanem azok összességére vagyunk kíváncsiak. Ezért az A operátor egy halmazon (ensemble) vett várhatóértékét a következő módon adjuk meg: A = Tr[Aσ(t)] Megoldás: Ha tehát az A operátor valójában a mag impulzusmomentum operátor (I), valamint ha a mérést elegendően kiterjedt mintán folytatjuk, akkor az operátor várhatóértéke { A } konvergál a makroszkopikus mágnesezettséget leíró M vektor értékéhez.
15 Ezért a megfigyelhető makroszkopikus mágnesezettség pl. My összetevője a következő: M y (t) = Nγh Tr[ΣI ky σ(t)] k ahol γ és h mellett, N az egységnyi térfogatban vett spinek darabszáma. memo: Az I k mennyiség y indexe az M y indexe miatt jelenik meg. feladat: A magspin operátor (I) valamint a sűrűségoperátor {σ(t)} szorzatának valamilyen bázison vett mátrixreprezentációjának a spurját (Tr) kell meghatároznunk! A nagy kérdés: mi legyen az alkalmas bázis? Mi legyen az s elemből álló báziskészletet (B s )? σ(t) = Σ b s (t)b s s A megoldás: a B s báziskészlet legyen a spin impulzusmomentum-operátor. Sorensen korábbi javaslata értelmében a Descartes-típusú I kl bázisoperátorok használata az alábbiak szerint felettébb eredményes: B s = n ( q 2 1 ) k = 1 ( I ) kl a sk
16 A megoldás: a B s báziskészlet legyen a spin impulzusmomentum-operátor. Sorensen korábbi javaslata értelmében a Descartes-típusú I kl bázisoperátorok használata az alábbiak szerint felettébb eredményes: B s = n ( q 2 1 ) k = 1 ( I ) kl a sk Pl. az I és S spinrendszer esetében n = 2, I 1 = I és I 2 = S, l (I bázisoperátor másik indexe) a Descartes-komponenseit (x, y, z) rövidíti, (0 q n), q esetben a sk =1 és (n q) esetben a sk = 0 Ha q= 0 akkor 2 1 E = 1/2 E Ha q=1 akkor 2 0 I 1x, 2 0 I 1y, 2 0 I 1z, 2 0 I 2x, 2 0 I 2y, 2 0 I 2z Ha q=2 akkor 2 +1 I 1xI2x, 2 +1 I 1x I 2y, 2 +1 I 1x I 2z 2 +1 I 1y I 2x, 2 +1 I 1y I 2y, 2 +1 I 1y I 2z 2 +1 I 1z I 2x, 2 +1 I 1z I 2y, 2 +1 I 1z I 2z q= 0 1/2 E q=1 I x, I y,, S x, S y, q=2 2I x S x, 2I x S y, 2I x 2I y S x, 2I y S y, 2I y 2 S x, 2 S y, 2
17 A 16 bázisoperátort táblázatos alakban: E E E S x S x S y S y B s elemeihez milyen fizikai kép rendelhető? mágnesezettség (populáció, NOE) I x I x 2I x S x 2I x S y 2I x szin-fázisú egyszeres kvantumkoherenciáik. I y I y 2I y S x 2 S x 2I y S y 2 S y 2I y 2 S spinen lokalizálható ellentétesfázisú koherenciák I spinhez tartozó ellentétesfázisú koherenciák E S x S y E egység transzverz S transzverz S longitudinális S I x transzverz I többszörös kvantum többszörös kvantum ellentétes fázisú I I y transzverz I többszörös kvantum többszörös kvantum ellentétes fázisú I longitudinális I ellentétes fázisú S ellentétes fázisú S J rendű spin-állapot
18 PRODUCT-OPERATOR FORMALISM (PrOF) (the quintessence of NMR) memo : the product of the angular momentum operators a formalism based on the density-operator theory coherence is the phase coherent superposition of quantum states
19 A: Product operators for two uncoupled spins (one + one) initial conditions: consider spin I and S - spin quantum number 1/2 (e.g. 1 H, 13 C, 15 N, 31 P ) - not coupled (neglection of spin-spin interaction) the spin (angular momentum) components are : I x, I y, and S x, S y, the magnetic moments components are : µ x (I), µ y (I), µ z (I), µ x (S), µ y (S), µ z (S) memo : µ x (I) = (γ h I x )/2π comment: for the description of the effect - free precession or - r.f. pulses for one spin (e.g. I) - three dimensions (e.g.i x, I y, ) for two spins (e.g. I and S) - six dimensions (e.g.i x, I y,, S x, S y, ) are needed.
20 A/1: THE BOLTZMAN DISTRIBUTION SITUATION The spin density in thermal equil.: σ Boltzman = h B o (γ I + γ S ) / (8πkT) σ Boltzman =norm(γ I + γ S ) if norm = hb o /(8πkT) memo : σ Boltzman is described in the 6D- space (two spins, no J IS )
21 A/2: THE CONSEQUENCE OF AN R.F. PULSE If I and S are heteronuclear, then selective excitation is possible. Introduce : rotation axis (rot. axis of precession) I x (rot. axis of r.f. pulse) frequency Ω I (prec. frequ. of spin I) ω 1 (r.f. ) R p (I) = ω 1 I x + Ω I if Ω I 0 (we neglect offset during excitation) then R p (I) = ω 1 I x The effect of a selective -I x pulse on spin I (3D- subspace of the I S coherence space ) conclusion: the rotation of spin I (in the I x, I y, subspace) and of S (in the S x, S y, subspace) of the coherence space during an RF pulse are completely independent for both home- and heteronuclear spin system.
22 A/3: FREE PRECESSION AT LARMOR FREQUENCY initial conditions: the spin density after the RF pulse {ω 1 (-I x ) and ω 1 (S y )}: σ (t=0) = h B o (γ I I y + γ S S x ) / (8πkT) the effective operator during precession is : Ω I + Ω S but the rotation of I is independent of S I y I y cos (Ω I t ) + I x sin (Ω I t ) S x S x cos (Ω S t ) - S y sin (Ω S t ) the spin density after free precession for time t: σ (t) = h B o (γ I [I y cos(ω I t ) + I x sin(ω I t )]+ γ S [S x cos(ω S t ) - S y sin(ω S t )]) / (8πkT) conclusion: the precession of spin I (in the I x, I y, subspace) and of S (in the S x, S y, subspace) of the coherence space are completely independent for both home- and heteronuclear spin system.
23 COMMUTATION and rotations are independent, they can be applied in any order. a: first than on (I y - S x ): (I y - S x ) --[ ]--> I y cos (Ω I t ) + I x sin (Ω I t ) - S x --[ ]--> I y cos (Ω I t ) + I x sin (Ω I t ) - S x cos (Ω S t ) + S y sin (Ω S t ) b: first than on (I y - S x ): (I y - S x ) --[ ]--> I y - S x cos (Ω S t ) + S y sin (Ω S t ) --[ ]--> I y cos (Ω I t ) + I x sin (Ω I t ) - S x cos (Ω S t ) + S y sin (Ω S t ) I x and rotations are not independent, they can't be applied in any order. a: first -I x than on ( ): ( ) --[-I x (θ)]--> cos(θ) + I y sin(θ) --[ (φ)]--> cos(θ) + I y sin(θ) cos (φ) + I x sin(θ) sin (φ) azonosak b: first than -I x on ( ): ( ) --[ (φ)]--> --[-I x (θ)]--> cos(θ) + I y sin(θ) nem azonosak
24 A két úton előállított spinsűrűség-operátor jól láthatóan más és más, az eredmény függ a két műveletet elvégzésének sorrendjétől. Az utóbbi példában tehát számít, hogy melyik rotáció melyik után következik. Ez a tény első olvasásra váratlan lehet, hiszen pl. két vagy több valós szám összeszorzásakor azt tapasztaljuk, hogy az elemi szorzások elvégzésének sorrendje nincs kihatással az eredményre (pl. A*B*C = B*A*C). Ugyanakkor, ha két vagy több operátor által definiált műveletet kell végrehajtanunk, akkor először meg kell vizsgálnunk, hogy azok tetszés szerinti sorrendben végrehajthatók-e? Ha a két operátor (pl. A és B) műveleti sorrendje nem számít, akkor azt mondjuk hogy a két operátor kommutál és ezt a [A,B] = 0 formalizmussal tüntetjük fel. Az utóbbi példában viszont azt láttuk, hogy az és a I x operátorok nem kommutálnak ([A,B] = AB BA), mivel a rotációk sorrendje befolyásolta a végállapotot. Ilyenkor, a zérótól eltérő eredményt a kommutáció ([A,B]) eredményének hívjuk, s azt A,B kummutátorának nevezzük. Magát a kommutációt célszerű operátorok közötti műveletként felfognunk. conclusion : the two results are different. when the order matters ---> they do not commute [I x, I y ]= i [I y, ]= i I x [, I x ]= i I y when the order doesn't matter ---> they do commute [I p, S q ]= 0 for (p,q = x,y,z) when rotation commute they do not affect each other coherences do not rotate around axes with which they commute ( ---[S x ]---> )
25 egy szuperoperátor, jelen esetben a Hamilton-szuperoperátor (pl. H^^), hat egy operátorra, mondjuk a spinsűrűség operátorra (pl. σ^). Ennek a hatásnak az eredményét az alábbi kommutátor definiálja: H^^σ^=[H^,σ^]=H^σ^ σ^h Vegyük észre, hogy a szögletes zárójelben már nem a Hamilton-szuperoperátor, hanem csak a Hamilton-operátor szerepel. Tehát az alábbi tömörítés bevezetésekor: σ(t) (H k ) > σ(t+ ) azt összegeztük, hogy időintervallum alatt hat a spinsűrűség-operátorra (σ^) az átlag Hamilton-szuperoperátor (H^^). Ha tehát a spinsűrűség-operátor éppen az Î x, akkor ennek precessziója során az előbbi tömörítés a következő formalizmust igényli: Î x (Ω I I^^z ) > Î x cos (Ω I ) + Î y sin (Ω I Tehát az I^^z szuperoperátor hatására a kezdetben Î x -szel azonosítható spinsűrűségoperátor Î x cos (Ω I ) + Î y sin (Ω I ) komponensekké alakul át.
26 Vegyük sorra a kommutátorok kiszámítását elősegítő legfontosabb algebrai tételeket. Memo: Két vagy több operátorhoz tartozó kommutátor kiszámításának felettébb egyszerű szabályai vannak, amelyeket az I és az S spinekhez rendelt impulzusmomentum-operátorok Descartes-komponensein mutatunk be. 1) Egyetlen spinhez tartozó komponensek (I x, I y és ) nem kommutálnak, s ezért komutátoruk =0: [I p, I q ] 0 ahol p,q = x,y vagy z 2) A megfelelő kommutátorok az alábbi ciklikusszabály segítségével kiszámíthatók: [I x, I y ]= i [I y, ]= ii x [, I x ]= ii y 3) Egy kommutátor inverzét a következő módon számíthatjuk ki: [I y, I x ]= [I x, I y ]= i 4) ha az operátorok hatásának sorrendisége közömbös, akkor az operátorok kommutálnak: [I p, S q ] = 0 ahol p,q = x,y vagy z
27 5) Ha két operátor közül az egyik csupán egyetlen spinre vonatkozóik (I r ), míg a másik valódi szorzatkoherencia operátora (I p S q ), akkor a kiszámítási szabály értelmezéséhez tudnunk kell, hogy melyik az aktív és melyik a passzív spin. Így például az [I p S q,i r ] kommutációja során a passzív spin az S, ezért az formálisan kiemelhető, s így már csak egy egyszerű kommutátorral van dolgunk: [I p S q, I r ] = [I p, I r ]S q [I p S q, S r ] = I p [S q, S r ] 6) a valódi szorzatkoherencia-operátorok (pl. I p S q és I r S s ) kommutátorának kiszámítási módja: 0KKKK hak p rkésk q s 1 I ps q,i rs s = 4 [S q,ss ] KhaK p = r 1 4 [ I p,i r ] KhaKq = s [ ] Példa: Az említett definíciók segítségével a következő egyenlőségek egyszerűen beláthatók: [I x, 2I y ] = [I x, 2I y ] = 2i (mivel a passzív spin) [2, 2I y ] = 1/4[2, 2I y ]= ii x (mivel q=s) [2, 2I y S x ] = 0 (mivel p r és q s)
28 HPROF6. ábra. A koherenciatérben a spinsűrűség-operátor I spin szerinti elemi rotációi. [Az S spinre vonatkozó analóg műveletek a megfelelő bázisoperátorok (B s -ek) formális helyettesítése után értelemszerűen adódnak.]
29 A Hamilton-operátor különböző alakjainak tárgyalásakor láthattuk, hogy a csatolásért vagy J szerinti modulációért felelős operátor a H = JÎ z Š z, amely a spinsűrűség operátor tengely szerinti elforgatása. Az x, y és z irányú pulzusok hatása a spinsűrűség-operátorra, vagy ennek Larmor-precessziója, továbbá J szerinti modulációja szemléletesen mind a spinsűrűség-operátor megfelelő tengely szerinti rotációja.
30 A Master Equation algebrai formája: I q [I p (θ)] > I q I q cos(θ) + i[i q, I p ] sin(θ) ha [I q, I p ] = 0 azaz kommutálnak ha [I q, I p ] 0 azaz nem kommutálnak Egy példa: [I x (φ)] > cos(φ) + i [, I x ] sin(φ) = cos(φ) + i (ii y ) sin(φ) = cos(φ) I y sin(φ) A Master Equation geometriai formája: A rotációk előjel-konvenciója.
31 I x [2 (πjt)] > I x cos(πjt) + i[i x, 2 ] sin(πjt) = I x cos(πjt) + i[i x, 2 ] sin(πjt) = I x cos(πjt) + i[ i2i y ] sin(πjt) = I x cos(πjt) + 2I y sin(πjt) I q [I p (θ)] > I q ha [I q, I p ] = 0 I q cos(θ) + i[i q, I p ] sin(θ) ha [I q, I p ] 0 2I y [2 (πjt)] > 2I y cos(πjt) + i[2i y, 2 ] sin(πjt) = 2I y cos(πjt) + 1/4{i[2I y, 2 ] sin(πjt)} = 2I y cos(πjt) + i[ii x ] sin(πjt) = 2I y cos(πjt) I x sin(πjt)
32 2I x S y [ (Ω I t)] > 2I x S y cos(ω I t) + i[2i x S y, ] sin(ω I t) = 2I x S y cos(ω I t) + i[2i x, ] S y sin(ω I t) = 2I x S y cos(ω I t) + i[ 2iI y ] S y sin(ω I t) = 2I x S y cos(ω I t) + 2I y S y sin(ω I t) S y [2 M z ( Jt)] > S y cos(πjt) + i[ S y, 2 M z ] sin(πjt) = S y cos(πjt) + i( 2M z )[S y, ] sin(πjt) = S y cos(πjt) 2iM z (is x )sin(πjt) = S y cos(πjt) + 2S x M z sin(πjt) 2S x [2 M z ( Jt)] > 2S x cos(πjt) + i[2s x, 2 M z ] sin(πjt) = 2S x cos(πjt) + 4i M z [S x, ] sin(πjt) = 2S x cos(πjt) + 4i M z ( is y ) sin(πjt) = 2S x cos(πjt) + 4S y M z sin(πjt)
33 initial conditions: B: Product operators for two coupled spins consider spin I and S - spin quantum number 1/2 (e.g. 1 H, 13 C, 15 N, 31 P ) - weakly coupled (J IS ) to explain J modulation we have to introduce a new rotation axis :
34 A spektrum σ (t=0) = hb 0 (γ I I y + γ S )/(8πkT) H = Ω I + Ω S πj IS Az akvizíciós modul sematikus rajza. A µv nagyságú indukált feszültséget erősítés után ( *10 7 ), Fourier-transzformáljuk σ (t=0) [Ω s t] [Ω I t] 2 (J IS πt) I y I y + I y cos(ω I t) - I x sin(ω I t) + I y cos(ω I t)cos(j IS πt) - 2I x cos(ω I t) sin(j IS πt) - I x sin(ω I t) cos(j IS πt) - 2I y sin(ω I t) sin(j IS πt) cos(a)cos(b) = 1/2[cos(A+B)+cos(A B)] következően a spektrum alakja: +1/2I y [ +cos{(ω I +πj IS )t} + cos{(ω I πj IS )t} ] I y [ +a, +a] Ω I kémiai eltolódásértéknél memo: az spektrum a Bloch-egyenlet alapján: S(t) = C*exp( t/t 2 )cos(ω I t).
35 Egy elágaztatásos diagram Ugyanezt a levezetést elvégezhetjük az S spin esetében is, amely azonban az akvizíció kezdetén és az akvizíció során mindvégig változatlan marad: σ (t=0) = hb 0 (γ I I y + γ S )/(8πkT) H = Ω I + Ω S πj IS σ (t=0) [Ω s t] [Ω I t] 2 (J IS πt)
36 Nézzük most meg példaként az 2 S y evolúcióját a korábban említett operátorok hatására: σ (t=0) = hb 0 (γ I I y + γ S )/(8πkT) H = Ω I + Ω S πj IS σ (t=0) [Ω I t] 2 S y [Ω S t] 2 (J IS πt) S x cos(ω s t) sin(j IS πt) cos(a)sin(b) = 1/2[sin(A+B) sin(a B)] S x 1/2[+sin{(Ω S +πj IS )t 2 } sin{(ω S πj IS )t 2 }] S x [+a, a] tehát Ω S kémiai eltolódásértéknél. 2 S y 2 S y cos(ω S t) 2 S x sin(ω S t) 2 S y cos(ω s t)cos(j IS πt) S x cos(ω s t) sin(j IS πt) 2 S x sin(ω s t) cos(j IS πt) S y sin(ω s t) sin(j IS πt)
37 [+a, +a] Ω I kémiai eltolódásértéknél [+a, a] Ω I kémiai eltolódásértéknél [+d, +d] Ω I kémiai eltolódásértéknél [+d, d] Ω I kémiai eltolódásértéknél Az AX-spinrendszer esetén mérhető szin- és anti-fázisú dublett abszorptív és diszperzív spektruma.
38
39 HPROF1. ábra A Descartes-térben definiált makroszkopikus mágnesezettség-vektor és ennek a koherenciatérben definiált analogja, a spinsűrűség-operátor.
40 σ Boltzmann = h B 0 (γ I + γ S ) / (8πkT) σ Boltzmann =norm(γ I + γ S ) [PROF-31] [PROF-31] HPROF2. ábra. A magasabb dimenziós koherenciatér I Z és S Z bázisoperátorok által kifeszített 2D-altér. (Célszerű az I és S spinek termikus egyensúlyát éppen ebben az altérben leírni.) HPROF 3. ábra. Az I spinre nézve szelektív r.f. pulzus σ-ra gyakorolt hatásának leírásához már az, I y és bázis-operátorok által definiált 3-dimenziós altérre van szükségünk.
41 σ(t) ( Ω I Î z ) > ( Ω s Š z ) > σ(t+ ) [PROF-32] HPROF 4. ábra. A hipertér két 3D-altere, melyeket rendre az, I y és I x illetve az, S y és S x bázisoperátorok definiálnak I y I y cos (Ω I ) + I x sin (Ω I ) és [PROF-33] S x S x cos (Ω S ) S y sin (Ω S ) σ(t+ ) = [PROF-34] = hb 0 (γ I [I y cos(ω I ) + I x sin(ω I )]+ γ S [S x cos(ω S ) S y sin(ω S )]) / (8πkT), rotációs sorrend: [PROF-35] (I y -S x ) [ ] > I y cos(ω I ) + I x sin(ω I ) S x [ ] > I y cos(ω I ) + I x sin(ω I ) S x cos(ω S ) + S y sin(ω S ), rotációs sorrend: [PROF-36] (I y S x ) [ ] > I y S x cos(ω S ) + S y sin(ω S [ ] > I y cos(ω I ) + I x sin (Ω I ) S x cos(ω S ) + S y sin(ω S )
42 I x, rotációs sorrend: ( ) [-I x (θ)] > cos(θ) + I y sin(θ) [ (φ)] > cos(θ) + I y sin(θ) cos(φ) I x sin(θ) sin(φ), I x rotációs sorrend: [PROF-37] [PROF-38] ( ) [ (φ)] > [-I x (θ)] > cos(θ) + I y sin(θ) HPROF5. ábra. A spektrumot alkotó I és S spinek kémiai eltolódását egy közös referenciaértékhez képest célszerű megadni (ω rf ). A jelek felhasadásának mértékéért a csatolási állandó nagysága felelős. A kémiai eltolódás (Ω = 2πυ), és a csatolás (2πJ) mértékét most rad*s 1 -ben, a szögsebesség szokásos mértékegységében adjuk meg. Szokásos még ugyanezt a mennyiséget Hz-ben (s 1 -ben) kifejezni. (Értelemszerűen e két megadásmód 2π segítségével átskálázható.)
A spin. November 28, 2006
A spin November 28, 2006 1 A spin a kvantummechanikában Az elektronnak és sok más kvantummechanikai részecskének is van egy saját impulzusnyomatéka amely független a mozgásállapottól. (Úgy is mondhatjuk,
RészletesebbenLehet ségek és kihívások a modern bionmr spektroszkópia területén
Lehet ségek és kihívások a modern bionmr spektroszkópia területén Perczel András és munkatársai Szerkezeti Kémia és Biológia Laboratórium és ELTE-MTA Fehérjemodellez Kutatócsoport ELTE/TTK/FI/ Ortvay kollokvium
RészletesebbenThe magnetic pole model: two opposing poles, North (+) and South (-), separated by a distance d produce an H- field (lines).
Preambulum: B: a mágneses indukció (mágneses fluxussűrűség), a mágneses mező (mágneses erőtér) a mozgó elektromos töltés, vagy az elektromos mező változásának következménye. SI egysége a tesla (T) - 1
Részletesebben1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
RészletesebbenFluktuáló terű transzverz Ising-lánc dinamikája
2016. szeptember 8. Phys. Rev. B 93, 134305 Modell H(t) = 1 2 L 1 σi x σi+1 x h(t) 2 i=1 h(t)-fluktuáló mágneses tér. Hogyan terjednek jelek a zajos rendszerben? L σi z, i=1 Zajok típusai 1 fehér zaj 2
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenLehetőségek és kihívások a modern bionmr spektroszkópia területén
Lehetőségek és kihívások a modern bionmr spektroszkópia területén Perczel András és munkatársai Szerkezeti Kémia és Biológia Laboratórium és ELTE-MTA Fehérjemodellező Kutatócsoport 1 The Nobel Prize in
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenKét 1/2-es spinből álló rendszer teljes spinje (spinek összeadása)
Két /-es spinből álló rendszer teljes spinje spinek összeadása Két darab / spinű részecskéből álló rendszert írunk le. Ezek lehetnek elektronok, vagy protonok, vagy akármilyen elemi vagy nem elemi részecskék.
RészletesebbenAz NMR és a bizonytalansági elv rejtélyes találkozása
Az NMR és a bizonytalansági elv rejtélyes találkozása ifj. Szántay Csaba MTA Kémiai Tudományok Osztálya 2012. február 21. a magspínek pulzus-gerjesztésének értelmezési paradigmája GLOBÁLISAN ELTERJEDT
RészletesebbenAlkalmazott spektroszkópia
Alkalmazott spektroszkópia 009 Bányai István MR és a fémionok: koordinációs kémiai alkalmazások Bányai István Debreceni Egyetem TEK Kolloid- és Környezetkémiai Tanszék A mágnesség A mágneses erő: F pp
Részletesebben1 A kvantummechanika posztulátumai
A kvantummechanika posztulátumai October 29, 2006 A kvantummechanika posztulátumai Célunk felépíteni a kvantummechanikát posztulátumok segítségével úgy ahogy az elemi hullámmechanika során eljártunk. Arra
RészletesebbenErős terek leírása a Wigner-formalizmussal
Erős terek leírása a Wigner-formalizmussal Berényi Dániel 1, Varró Sándor 1, Vladimir Skokov 2, Lévai Péter 1 1, MTA Wigner FK, Budapest 2, RIKEN/BNL, Upton, USA Wigner 115 2017. November 15. Budapest
Részletesebben2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH
2015/16/1 Kvantummechanika B 2.ZH 2015. december 10. Információk 0. A ZH ideje minimum 90 perc, maximum 180 perc. 1. Az összesen elérhet pontszám 270 pont. 2. A jeles érdemjegy eléréséhez nem szükséges
RészletesebbenAZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA. H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat.
AZ ELEKTRON MÁGNESES MOMENTUMA Mágneses dipólmomentum: m H mágneses erœtérben az m mágneses dipólmomentummal jellemzett testre M = m H forgatónyomaték hat. M = m H sinϕ (Elektromos töltés, q: monopólus
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
LinAlgZh1 feladatok 01 3d vektorok Adott három vektor ā = (0 2 4) b = (1 1 4) c = (0 2 4) az R 3 Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban 1 Mennyi az ā b skalárszorzat? 2 Mennyi az n = ā b vektoriális
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenRobotika. Kinematika. Magyar Attila
Robotika Kinematika Magyar Attila amagyar@almos.vein.hu Miről lesz szó? Bevezetés Merev test pozíciója és orientációja Rotáció Euler szögek Homogén transzformációk Direkt kinematika Nyílt kinematikai lánc
Részletesebbenlásd: enantiotóp, diasztereotóp
anizokrón anisochronous árnyékolási állandó shielding constant árnyékolási járulékok és empirikus értelmezésük shielding contributions diamágneses és paramágneses árnyékolás diamagnetic and paramagnetic
RészletesebbenA kvantumszámok jelentése: A szokásos tárgyalás a pályák alakját vizsgálja, ld. majd azt is; de a lényeg: fizikai mennyiségeket határoznak meg.
I.6. A H-atom kvantummechanikai leírása I.6.1. Schrödinger-egyenlet, kvantumszámok Szimbolikusan tehát: Ĥψ i = E iψ i A Schrödinger-egyenletben a rendszert specifikálja: a V = e /r a potenciális energia
RészletesebbenAtomok és molekulák elektronszerkezete
Atomok és molekulák elektronszerkezete Szabad atomok és molekulák Schrödinger egyenlete Tekintsünk egy kvantummechanikai rendszert amely N n magból és N e elektronból áll. Koordinátáikat jelölje rendre
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenO ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )
1. feladat Írjuk föl a következő vektorokat! AC, BF, BG, DF, BD, AG, GB Írjuk föl ezen vektorok egységvektorát is! a=3 m b= 4 m c= m Írjuk föl az egyes pontok koordinátáit: O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 )
RészletesebbenFoton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben
Foton-visszhang alapú optikai kvantum-memóriák: koherens kontroll optikailag sűrű közegben Demeter Gábor MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, RMI Demeter Gábor (MTA Wigner RCP... / 4 Bevezetés / Motiváció
RészletesebbenA kvantummechanika általános formalizmusa
A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók.
RészletesebbenAz impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
RészletesebbenBevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz
Bevezetés a kvantum-informatikába és kommunikációba 2015/2016 tavasz Kvantumkapuk, áramkörök 2016. március 3. A kvantummechanika posztulátumai (1-2) 1. Állapotleírás Zárt fizikai rendszer aktuális állapota
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenOptika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjedés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor. Hamilton-elv. Sugáregyenlet. (Euler-Lagrange egyenlet)
Optika gyakorlat 3. Sugáregyenlet, fényterjeés parabolikus szálban, polarizáció, Jones-vektor Hamilton-elv t2 t2 δ Lq k, q k, t) t δ T V ) t 0 t 1 t 1 t L L 0 q k q k Euler-Lagrange egyenlet) De mi az
Részletesebbenhttp://www.nature.com 1) Magerő-sugár: a magközéppontból mért távolság, ameddig a magerők hatótávolsága terjed. Rutherford-szórásból határozható meg. R=1,4 x 10-13 A 1/3 cm Az atommag terének potenciálja
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenSkalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -
1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak
RészletesebbenAz egydimenziós harmonikus oszcillátor
Az egydimenziós harmonikus oszcillátor tárgyalása az általános formalizmus keretében November 7, 006 Példaképpen itt megmutatjuk, hogyan lehet a kvantumos egydimenziós harmonikus oszcillátort tárgyalni
RészletesebbenMágneses módszerek a mőszeres analitikában
Mágneses módszerek a mőszeres analitikában NMR, ESR: mágneses momentummal rendelkezı anyagok minıségi és mennyiségi meghatározására alkalmas analitikai módszer Atommag spin állapotok közötti energiaátmenetek:
RészletesebbenKvantummechanika gyakorlat Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje
Kvantummechanika gyakorlat 015 1. Beadandó feladatsor Határid : 4. heti gyakorlatok eleje 1. Mutassuk meg, hogy A és B tetsz leges operátorokra igaz, hogy e B A e B = A + [B, A] + 1![ B, [B, A] ] +....
RészletesebbenGROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.
ELTE, MSc II. 2011.dec.15. Áttekintés Feladat Algoritmus Kvantum keresési algoritmus áttekintése Input: N = 2 n elemű tömb, Ψ 1 = 0 1 kezdőállapot, f x0 (x) orákulum függvény. Output: x 0 keresett elem
Részletesebben2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer
. gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
Részletesebben1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
RészletesebbenSCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET
SCHRÖDINGER-EGYENLET A Scrödinger-egyenlet a kvantummecanika mozgásegyenlet, Newton II. törvényével analóg. Nem vezetető le korábbi elvekből, de intuitívan bevezetető. Egy atározott energiával és impulzussal
RészletesebbenNMR a peptid- és fehérje-kutatásban
NMR a peptid- és fehérje-kutatásban A PDB adatbázisban megtalálható NMR alapú fehérjeszerkezetek számának alakulása az elmúlt évek során 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 1987 1988 1989 1990 1991
RészletesebbenVektorok, mátrixok, tenzorok, T (emlékeztető)
Vektorok, mátrixok, tenzorok, T (emlékeztető) A = T*B Tenzor: lineáris vektorfüggvény, amely két vektormennyiség közötti összefüggést ír le, egy négyzetmátrix, M reprezentálja. M M M M = M M M M M M 11
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenBudapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János
Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar Lineáris algebra 1. témakör Vektorok Fodor János Copyright c Fodor@bmf.hu Last Revision Date: 2006. szeptember 11. Version 1.1 Table of Contents
RészletesebbenMateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában)
MateFIZIKA: Pörgés, forgás, csavarodás (Vektorok és axiálvektorok a fizikában) Tasnádi Tamás 1 2015. április 17. 1 BME, Mat. Int., Analízis Tsz. Tartalom Vektorok és axiálvektorok Forgómozgás, pörgettyűk
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
RészletesebbenKomplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)
RészletesebbenMi mindenről tanúskodik a Me-OH néhány NMR spektruma
Mi mindenről tanúskodik a Me-OH néhány NMR spektruma lcélok és fogalmak: l- az NMR-rezonancia frekvencia (jel), a kémiai környezete, a kémiai eltolódás, l- az 1 H-NMR spektrum, l- az -OH és a -CH 3 csoportokban
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenMODELLEZÉS - SZIMULÁCIÓ
Mechatronika = Mechanikai elemek+ elektromechanikai átalakítók+ villamos rendszerek+ számítógép elemek integrációja Eszközök, rendszerek, gépek és szerkezetek felügyeletére, vezérlésére (manapság miniatürizált)
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenFizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.
izika II minimumkérdések zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek. 1. Coulomb erőtörvény: = kq r 2 e r (k = 9 10 9 m2 C 2 ) 2. Coulomb állandó és vákuum permittivitás
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenAz elméleti fizika alapjai házi feladat
Az elméleti fizika alapjai házi feladat A jellel ellátott feladatok opcionálisak és plusz pontot érnek. A határidőn túl leadott házi feladatok is pontot érnek, még ha kevesebbet is. Pl. az 1. házi feladat
RészletesebbenMágneses módszerek a műszeres analitikában
Mágneses módszerek a műszeres analitikában NMR, ESR: mágneses momentummal rendelkező anyagok minőségi és mennyiségi meghatározására alkalmas Atommag spin állapotok közötti energiaátmenetek: NMR (magmágneses
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenMűszeres analitika II. (TKBE0532)
Műszeres analitika II. (TKBE0532) 7. előadás NMR spektroszkópia Dr. Andrási Melinda Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Szervetlen és Analitikai Kémiai Tanszék NMR, Nuclear Magnetic
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenAz elméleti mechanika alapjai
Az elméleti mechanika alapjai Tömegpont, a továbbiakban részecske. A jelenségeket a háromdimenziós térben és időben játszódnak le: r helyzetvektor v dr dt ṙ, a dr dt r a részecske sebessége illetve gyorsulása.
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
RészletesebbenSzámítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox
Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges
RészletesebbenVektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36
Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
Részletesebben= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
RészletesebbenHangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata
Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenÖsszefonódottság detektálása tanúoperátorokkal
Összefonódottság detektálása tanúoperátorokkal Tóth Géza Max-Plank-Intitute für Quantenoptik, Garching, Németország Budapest, 2005. október 4. Motiváció Miért érdekes a kvantum-informatika? Alapvető problémák
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. X. Előadás. Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA X. Előadás Robot manipulátorok II. Direkt és inverz kinematika Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Direkt kinematikai probléma Denavit-Hartenberg konvenció
RészletesebbenSegédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával
Segédlet: Főfeszültségek meghatározása Mohr-féle feszültségi körök alkalmazásával Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 212. október 16. Frissítve: 215. január
Részletesebben1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása (megoldás)
Matematika A gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok 016/17 ősz 1. feladatsor: Vektorfüggvények deriválása megoldás) 1. Tekintsük azt az L : R R lineáris leképezést ami az 1 0) vektort az 1 0 )
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok 2019-09-10 MGFEA Wettl Ferenc ALGEBRA
Részletesebben2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
RészletesebbenSzámítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
RészletesebbenFizikai mennyiségek, állapotok
Fizikai mennyiségek, állapotok Atomok és molekulák zikai mennyiségeihez rendelt operátorok A kvantummechanika mint matematikai modell alapvet épít elemei a rendszer leírására szolgáló zikai mennyiségekhez
RészletesebbenMerev testek kinematikája
Merev testek kinematikája Egy pontrendszert merev testnek tekintünk, ha bármely két pontjának távolsága állandó. (f=6, Euler) A merev test tetszőleges mozgása leírható elemi transzlációk és elemi rotációk
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Részletesebbenazonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i
A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenInfobionika ROBOTIKA. IX. Előadás. Robot manipulátorok I. Alapfogalmak. Készült a HEFOP P /1.0 projekt keretében
Infobionika ROBOTIKA IX. Előadás Robot manipulátorok I. Alapfogalmak Készült a HEFOP-3.3.1-P.-2004-06-0018/1.0 projekt keretében Tartalom Robot manipulátorok definíciója és alkalmazásai Manipulátorok szerkezete
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben